Zyklische Gruppe der Ordnung 21 = 7 * 3
gap> c21 := CyclicGroup(21);
<pc group of size 21 with 2 generators>
gap> c21_el := Elements(c21);
[ <identity> of ..., f1, f2, f1^2, f1*f2, f2^2, f1^2*f2, f1*f2^2, f2^3,
f1^2*f2^2, f1*f2^3, f2^4, f1^2*f2^3, f1*f2^4, f2^5, f1^2*f2^4, f1*f2^5,
f2^6, f1^2*f2^5, f1*f2^6, f1^2*f2^6 ]
gap> List(Order, c21_el);
gap> List(c21_el, Order);
[ 1, 21, 7, 21, 21, 7, 21, 3, 7, 21, 21, 7, 21, 21, 7, 3, 21, 7, 21, 21, 21 ]
gap> c21_aut := AutomorphismGroup(c21);
<group with 2 generators>
gap> c21_aut_el := Elements(c21_aut);
[ Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1*f2^5, f2^2 ],
Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1^2*f2^3, f2^4 ], IdentityMapping( <pc group of size
21 with 2 generators> ), Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1^2*f2^5, f2^3 ],
Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1^2, f2^2 ], Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1*f2^4, f2^6 ],
[ f2, f1*f2^2 ] -> [ f2, f1^2*f2^4 ], Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1*f2^6, f2^5 ],
Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1*f2, f2^4 ], Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1^2*f2^6, f2^6 ]
, [ f1*f2^2, f2 ] -> [ f1*f2^2, f2^3 ],
Pcgs([ f1, f2 ]) -> [ f1^2*f2, f2^5 ] ]
gap> List(c21_aut_el, Order);
[ 3, 6, 1, 6, 6, 2, 2, 6, 3, 2, 6, 6 ]
gap> Size(c21_aut);
12
gap> IsAbelian(c21);
true
gap> IsCyclic(c21);
true
gap> IsAbelian(c21_aut);
true
gap> IsCyclic(c21_aut);
false
gap> Display(CharacterTable(c21));
CT1
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1a 21a 7a 21b 21c 7b 21d 3a 7c 21e 21f 7d 21g 21h 7e 3b 21i 7f 21j 21k
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 A 1 /A A 1 /A A 1 /A A 1 /A A 1 /A A 1 /A A
X.3 1 /A 1 A /A 1 A /A 1 A /A 1 A /A 1 A /A 1 A /A
X.4 1 B H E /H /B /E 1 E B H /E /H /B B 1 E /H H /E
X.5 1 C H G /J /B /F A E D I /E /I /D B /A F /H J /G
X.6 1 D H F /I /B /G /A E C J /E /J /C B A G /H I /F
X.7 1 E /B /H B /E H 1 /H E /B H B /E E 1 /H B /B H
X.8 1 F /B /I C /E J A /H G /D H D /G E /A /J B /C I
X.9 1 G /B /J D /E I /A /H F /C H C /F E A /I B /D J
X.10 1 H E /B /E /H B 1 /B H E B /E /H H 1 /B /E E B
X.11 1 I E /C /G /H D A /B J F B /F /J H /A /D /E G C
X.12 1 J E /D /F /H C /A /B I G B /G /I H A /C /E F D
X.13 1 /H /E B E H /B 1 B /H /E /B E H /H 1 B E /E /B
X.14 1 /J /E D F H /C A B /I /G /B G I /H /A C E /F /D
X.15 1 /I /E C G H /D /A B /J /F /B F J /H A D E /G /C
X.16 1 /E B H /B E /H 1 H /E B /H /B E /E 1 H /B B /H
X.17 1 /G B J /D E /I A H /F C /H /C F /E /A I /B D /J
X.18 1 /F B I /C E /J /A H /G D /H /D G /E A J /B C /I
X.19 1 /B /H /E H B E 1 /E /B /H E H B /B 1 /E H /H E
X.20 1 /D /H /F I B G A /E /C /J E J C /B /A /G H /I F
X.21 1 /C /H /G J B F /A /E /D /I E I D /B A /F H /J G
3 1
7 1
21l
X.1 1
X.2 /A
X.3 A
X.4 /B
X.5 /C
X.6 /D
X.7 /E
X.8 /F
X.9 /G
X.10 /H
X.11 /I
X.12 /J
X.13 H
X.14 J
X.15 I
X.16 E
X.17 G
X.18 F
X.19 B
X.20 D
X.21 C
A = E(3)
= (-1+ER(-3))/2 = b3
B = E(7)^5
C = E(21)
D = E(21)^8
E = E(7)^3
F = E(21)^16
G = E(21)^2
H = E(7)
I = E(21)^10
J = E(21)^17
gap> Display(CharacterTable(c21_aut));
CT2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1a 6a 3a 6b 6c 2a 2b 6d 3b 2c 6e 6f
X.1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X.2 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1
X.3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1
X.4 1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 -1 1
X.5 1 A /A A /A 1 1 /A A 1 A /A
X.6 1 A /A -A /A -1 1 -/A A -1 -A -/A
X.7 1 -A /A -A -/A 1 -1 /A A -1 A -/A
X.8 1 -A /A A -/A -1 -1 -/A A 1 -A /A
X.9 1 /A A /A A 1 1 A /A 1 /A A
X.10 1 /A A -/A A -1 1 -A /A -1 -/A -A
X.11 1 -/A A -/A -A 1 -1 A /A -1 /A -A
X.12 1 -/A A /A -A -1 -1 -A /A 1 -/A A
A = E(3)^2
= (-1-ER(-3))/2 = -1-b3